Cinquième exercice et avant dernière exercice dans la dernière ligne droite jusqu’à mardi prochain ! J’en publierai un dernier ce samedi midi, et vous pourrez me poser toutes les questions de dernière minute qui vous taraudent. Ensuite il faudra se reposer le dernier dimanche avant les écrits : inutile d’aborder les épreuves en étant fatigués ! Cette fois-ci, j’ai choisi un exercice que je trouve bien conçu pour réviser deux des thèmes au programme, à savoir les suites et les probabilités.
Comme toujours, on va retomber sur les immanquables du concours. La partie probabilités fera intervenir les deux formules très importantes à savoir utiliser :
-
La formule dite ‘”Formule de Bayes” :
-
La formule dite “des probabilités totales” :
.
Pour les suites, on est ici sur une utilisation des suites géométriques, dont il faut savoir utiliser les formules principales (expression de en fonction de
, …).
Bref, un exercice sans difficulté majeur. Quoique, si, quand même : il y a un petit piège vicieux. Je suis sympa quand même, je vous dis qu’il y en a un…. mais je ne vous dit pas où ! (Un jour, je ferai un billet sur comment j’ai appris à mes élèves la définition du mot “Sadique”, condition nécessaire mais non suffisante pour devenir enseignant de mathématiques).
Allez, on se retrousse les manches, on attaque le sujet, et on ne touche pas à la correction avant d’avoir essayé, comme d’habitude !
Énoncé de l’exercice
Une entreprise a 1586 employés. Pour leur rendre service, elle a mis en place un système de navette qui les amène au travail.
– Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est .
– S’il est en retard un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est .
Pour tout entier naturel non , on appelle
l’événement “l’employé est en retard le jour
” et
son événement contraire. On note
la probabilité
et
celle de
.
On suppose .
1/ Détermination d’une relation de récurrence
a/ Déterminer les probabilités conditionnelles et
b/ Déterminer en fonction de
et
en fonction de
.
c/ Exprimer en fonction de
et
.
d/ En déduire que .
2/ Étude de la suite
Pour tout entier naturel non nul , on pose
.
a/ Démontrer que est une suite géométrique de raison
b/ Exprimer puis
en fonction de
.
c/ Justifier que la suite est convergente et calculer sa limite.
Coup de pouce
a/ L’énoncé les donne. Ne pas hésiter à faire un arbre de probabilités si ça vous aide. b/ La formule de Bayes, encore ! c/ La formule des probabilités totales, encore ! d/ Il faut se rappeler la formule fondamental en probabilités :
et reprendre les formules déjà démontrées de l’exercice.
a/ Trois choix pour démontrer que – Calculer – Comme l’énoncé donne la raison – La meilleure lorsque l’énoncé donne la raison b/ Formule du cours sur les suites géométriques, mais attention puisque le premier terme de la suite c/ Calcul usuel sur les limites.
est géométrique de raison
:
et démontrer que le résultat ne dépend pas de
(ici est égal à
).
de la suite, calculer
et prouver que le résultat est 1.
de la suite, calculer
et démontrer que le résultat est 0.
est
et non
.
Correction de l’exercice
Et bien sûr, n’hésitez pas à poster en commentaires les questions que vous vous posez !