Suites et Probabilités, exercice 5 – Annales de concours

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Cinquième exercice et avant dernière exercice dans la dernière ligne droite jusqu’à mardi prochain ! J’en publierai un dernier ce samedi midi, et vous pourrez me poser toutes les questions de dernière  minute qui vous taraudent. Ensuite il faudra se reposer le dernier dimanche avant les écrits : inutile d’aborder les épreuves en étant fatigués ! Cette fois-ci, j’ai choisi un exercice que je trouve bien conçu pour réviser deux des thèmes au programme, à savoir les suites et les probabilités.

Comme toujours, on va retomber sur les immanquables du concours. La partie probabilités fera intervenir  les deux formules très importantes à savoir utiliser :

  • La formule dite ‘”Formule de Bayes” : p(A \cap B) = p_A(B) \times p(A) = p_B = p_B(A) \times p(B)
  • La formule dite “des probabilités totales” : p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \overline{B}).

Pour les suites, on est ici sur une utilisation des suites géométriques, dont il faut savoir utiliser les formules principales (expression de u_n en fonction de n, …).

Bref, un exercice sans difficulté majeur. Quoique, si, quand même : il y a un petit piège vicieux. Je suis sympa quand même, je vous dis qu’il y en a un….  mais je ne vous dit pas où ! (Un jour, je ferai un billet sur comment j’ai appris à mes élèves la définition du mot “Sadique”, condition nécessaire mais non suffisante pour devenir enseignant de mathématiques).

Allez, on se retrousse les manches, on attaque le sujet, et on ne touche pas à la correction avant d’avoir essayé, comme d’habitude !

Énoncé de l’exercice

Une entreprise a 1586 employés. Pour leur rendre service, elle a mis en place un système de navette qui les amène au travail.

– Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est \dfrac{1}{5}.

– S’il est en retard un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est \dfrac{1}{20}.

Pour tout entier naturel non n, on appelle R_n l’événement “l’employé est en retard le jour n” et \overline{R_n} son événement contraire. On note p_n la probabilité R_n et q_n celle de \overline{R_n}.

On suppose p_1 = 0.

1/ Détermination d’une relation de récurrence

a/ Déterminer les probabilités conditionnelles p_{R_n}(R_{n+1}) et p_{\overline{R_n}}(R_{n+1})

b/ Déterminer p(R_{n+1} \cap R_n) en fonction de p_n et p(R_{n+1} \cap \overline{R_n}) en fonction de q_n.

c/ Exprimer p_{n+1} en fonction de p_n et q_n.

d/ En déduire que p_{n+1} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{20}p_n.

2/ Étude de la suite (p_n)

Pour tout entier naturel non nul n, on pose v_n = p_n - \dfrac{4}{23}.

a/ Démontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{-3}{20}

b/ Exprimer v_n puis p_n en fonction de n.

c/ Justifier que la suite (p_n) est convergente et calculer sa limite.

Coup de pouce

Partie Probabilités

a/ L’énoncé les donne. Ne pas hésiter à faire un arbre de probabilités si ça vous aide.

b/ La formule de Bayes, encore !

c/ La formule des probabilités totales, encore !

d/ Il faut se rappeler la formule fondamental en probabilités : p(A) + p(\overline{A}) = 1 et reprendre les formules déjà démontrées de l’exercice.

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Suites

a/ Trois choix pour démontrer que (v_n) est géométrique de raison \rho :

– Calculer \dfrac{v_{n+1}}{v_n} et démontrer que le résultat ne dépend pas de n (ici est égal à \dfrac{-3}{20}).

– Comme l’énoncé donne la raison \rho de la suite, calculer \dfrac{v_{n+1}}{\rho  v_n} et prouver que le résultat est 1.

– La meilleure lorsque l’énoncé donne la raison \rho de la suite, calculer v_{n+1} - \rho v_n et démontrer que le résultat est 0.

b/ Formule du cours sur les suites géométriques, mais attention puisque le premier terme de la suite (v_n) est v_1 et non v_0.

c/ Calcul usuel sur les limites.

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Correction de l’exercice

Correction Exercice 5

Et bien sûr, n’hésitez pas à poster en commentaires les questions que vous vous posez !


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