Probabilités, Exercice 4 – Annales de concours

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Terminons notre petit tour des immanquables avec un exercice de probabilités. Quand on regarde le programme de Contrôleur des Finances Publiques, on remarque finalement qu’il n’y a que quatre grands domaines (je compte ce qui est appelé “algèbre” dans le programme comme faisant partie des fonction) dont il faut connaître les exercices bateaux pour se garantir une bonne note. Ça tombe bien, nous sommes ici pour ça ! Comme quoi, vous avez bien fait de venir 🙂

J’ai choisi pour cette fois un exercice entièrement dédié aux probabilités (le programme précise aussi qu’on peut avoir des statistiques, mais ça ne tombe pas fréquemment), pris cette fois dans le concours 2017. Ici, on retrouvera les deux fondamentaux à connaître en probabilités :

– Tout d’abord, la manipulation des arbres de probabilités, et de toutes les formules qui en découlent. Dans toute ma carrière d’enseignant, je n’ai jamais vu un exercice de probabilités avec un arbre qui ne faisait pas intervenir la formule de Bayes et celle des probabilités totales.

– Deuxièmement, le domaine des probabilités que tout le monde déteste (y compris les enseignants de mathématiques d’ailleurs !), la manipulation des variables aléatoires. Dans la partie 2, nous reverrons les essentiels à connaître sur le sujet, l’exercice ne prenant pas la peine de développer plus cet aspect des probabilités.

Allez, c’est parti, et comme d’habitude, ne regardez pas la correction avant d’avoir cherché l’exercice !

Énoncé de l’exercice

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

PARTIE 1

Monsieur BINGO, le directeur du casino de la commune LINGO, a été sensibilisé par son banquier sur le nombre de faux billets en circulation : 2 \% des billets en circulation sont de faux billets. Afin de lutter contre cette fraude, il décide de s’équiper d’une machine à détecter les faux billets. Monsieur BINGO se renseigne sur la fiabilité de cet appareil et découvre les propriétés suivantes :

– Si le billet est faux : la probabilité qu’il soit détecté comme faux est 0,99.

– Si le billet est vrai, la probabilité qu’il soit détecté comme vrai est 0,97.

Une marge d’erreur existe donc : un vrai billet peut être détecté comme faux, et vice-versa. Pour se convaincre de sa bonne acquisition, Monsieur BINGO demande au vendeur d’effectuer un essai avec un billet quelconque.

On note :

F l’événement “Le billet est faux”.

T l’événement “La machine a détecté un faux billet”.

\overline{F} et \overline{T} sont les événements contraires de F et T.

1/ a) Déterminer la probabilité de p(F),p_F(T) et p_{\overline{F}}(\overline{T}). Élaborer un arbre de probabilités.

b) En déduire la probabilité de l’événement F \cap T.

2/ Démontrer que la probabilité que la machine détecte un faux billet est de 0,0492.

3/ Justifier par le calcul que : si la machine détecte un faux billet, il n’y a que 40 % de chance que le billet soit faux.

4/ Déterminer la probabilité que le billet soit vrai sachant qu’il n’a pas été détecté comme faux billet.

5/ Les événements F et T sont-ils indépendants ?

6/ Monsieur BINGO achète finalement l’appareil. Selon vous, fait-il une bonne acquisition ?

PARTIE 2

Un joueur se rend dans le casino de Monsieur BINGO et joue à la roulette. En laçant la roulette, il tombe sur un nombre aléatoire entre 0 et 36. Il mise 10 euros. S’il tombe sur :

– un nombre pair sauf 0, il récupère sa mise et gagne 2 autres euros (gain de 2 euros).

– un nombre impair, il perd sa mise (perte de 10 euros).

– le chiffre 0 : il récupère sa mise et gagne 20 autres euros (gain de 20 euros).

On note X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur (une perte sera donc négative).

1/ Déterminer la loi de probabilité que suit X.

2/ Donner l’espérance de X, notée E(X).

3/ Le jeu est-il favorable au joueur ?

Coup de pouce

Avant tout, je rappelle que par convention, on arrondi les résultats de probabilités à 4 chiffres après la virgule.

PARTIE 1

1/ a) Au brouillon, tracer d’abord l’arbre, ensuite les probabilités demandées se lisent dessus !

b) Rappel de formule (dites de Bayes) : p(A \cap B) = p_B(A) \times p(B) = p_A(B) \times p(A).

2/ Il faut utiliser la formule des probabilités totales : p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \overline{B}) = p_B(A) + p_{\overline{B}}(A).

3/ On utilise encore la formule de Bayes.

4/ On utilise encore encore la formule de Bayes (en probabilités, elle est vraiment très fréquente !)

5/ Deux événements sont indépendants si et seulement si P(A \cap B) = p(A) \times p(B). Autrement dit, c’est un cas particulier de la formule de Bayes qui revient à dire que P_B(A) = p(A), ou encore que B n’influe pas sur A.

6/ Aucune aide à donner, à vous de voir s’il vous faut 100\% de réussite pour être heureux ou si la probabilité trouvée vous satisfait.

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EXERCICE 2

Deuxième convention importante lorsque des fractions interviennent dans un exercice de probabilités, on essaye de garder le même dénominateur pour toutes les fractions de l’exercice. Tout simplement parce qu’on est souvent amené à les additionner (et ce n’est faisable que lorsque les dénominateurs sont identiques !). Alors oui, parfois, on ne les simplifie pas.

1/ Déterminer la loi de probabilité, c’est tout simplement donner un tableau qui reprend toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire, en leurs associant les probabilités qui vont avec.

2/ L’espérance s’obtient comme une moyenne dans le tableau précédent.

3/ L’espérance étant négative… mais le joueur peut toujours tenter sa chance !

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Correction de l’exercice

Probabilités, Exercice 1

Et bien sûr, si jamais vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser en commentaires !


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2 Comments

    • Avec plaisir ! Ça me fait du bien de reprendre à mon niveau l’enseignement des mathématiques 🙂 Bon courage pour lundi et mardi !

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