Géométrie, Exercice 8 – Annales Technicien Géomètre 2015

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Poursuivons les exercices de révision pour le concours de technicien géomètre. Pour ne rien vous cacher, au départ, je pensais que les programmes des concours de contrôleurs des finances publiques et ceux de techniciens géomètres étaient identiques. Mais en parcourant les annales, je me suis bien vite rendu compte que ce n’est pas le cas.

Le programme de technicien géomètre est plus dense. Notamment, on y voit des équations différentielles voire des fonctions vectorielles, qui ne sont pas au programme de contrôleur. À l’inverse, les suites et les probabilités ne font pas partie du programme de technicien géomètre. Je le dis donc ici clairement : votre programme est le pire de ce qu’on fait en mathématiques, sans avoir le meilleur 🙂 Pauvre de vous !

Et ma compassion a été encore plus grande lorsque je suis tombé sur cet exercice posé au concours 2015. L’énoncé du sujet entier pourtant semblait court pour trois heures : il tient sur deux pages. Mais c’était sans compter un petit et dernier exercice qui demandait une bonne maîtrise des notions de géométrie du programme.

C’est donc celui-ci que je vous propose aujourd’hui comme annale à effectuer. Il s’agit d’un exercice de géométrie utilisant des vecteurs. On ne coupe donc pas au produit scalaire et aux calculs bien longs pour répondre aux deux questions. L’intérêt aussi de cet exercice est la dernière question, qui fait intervenir les lignes de niveau. Heureusement, comme cette notion n’est pas explicitement dans le programme, l’énoncé fait bien d’en rappeler la définition.

Et bien sûr, comme à chaque fois, tentez d’abord de faire le sujet avant de cliquer compulsivement sur la correction 🙂

Le sujet

Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; \vec{i} ; \vec{j}). Soit A(-1;1).

On considère l’application f:

    \[\begin{array}{ccl} P & \rightarrow & \mathbb{R} \\ M & \mapsto & \overrightarrow{AM}^2 + \overrightarrow{OM}.(\vec{i} + \vec{j}) \end{array}\]

1/ Exprimer f(M) sous la forme \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}, puis sous la forme \alpha \overrightarrow{UM}^2 + \beta, où B, U, \alpha et \beta seront à déterminer.

2/ En déduire les lignes de niveau de f.

Pour rappel, la ligne de niveau de l’application f est l’ensemble des points du plan tels que f(M)=k.

Coup de Pouce

Exercice 8 – Géométrie

1/ Deux méthodes sont possibles pour cette question.

– celle utilisant les propriétés des vecteurs, et en particulier le théorème de Chasles

– l’analytique, qui passe par des calculs avec les coordonnées de vecteurs.

Dans tous les cas, afin de ne pas perdre le correcteur, il faut bien prendre le temps en début de résolution d’expliquer quelles notations vous utiliserez pour les coordonnées de B et U (x_B par exemple pour l’abscisse de B).

2/ Grâce à la dernière écriture trouvée en question 1, une distinction de cas selon la valeur de k (k > \beta , k = \beta et k < \beta) donne la réponse.

Pour rappel, l’équation cartésienne d’un cercle de centre (\lambda ; \mu) et de rayon R est (x - \lambda)^2 + (y - \mu)^2 = R^2.

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Conclusion

De nouveau, je vous donne directement la correction ici. Mais comme toujours, il s’agit là d’une proposition de correction. De nombreuses possibilités de rédactions, voire de méthodes peuvent intervenir. Par contre, il n’y a qu’un seul résultat possible 🙂

Géométrie, Exercice 8 – Annales Technicien Géomètre 2015

Et comme toujours, si des passages ne vous semblent pas clairs, voire erronés, n’hésitez pas à m’en faire part dans les commentaires !


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