Fonctions, exercice 6 – Annales de concours

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Et voilà, fin de notre petit tour d’horizon des exercices types avant la grande échéance de lundi ! L’utilisation des notions essentielles a été revue, il ne me manquait plus que le dernier point majeur dans les exercices sur les fonctions pour parfaire ce tour quasi exhaustif. Ici, j’ai donc cherché dans les annales du concours un exercice utilisant ce qu’on appelle le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce théorème, c’est celui que vous dégainez immédiatement dès qu’une question dans un exercice de fonctions vous dit “démontrez qu’il existe un unique \alpha tel que f(\alpha) = 0” (ou tout autre nombre que 0 d’ailleurs). C’est un peu comme Pavlov là, un réflexe essentiel, qui peut vous sauver la vie (oui, bon, d’accord, j’exagère un brin : qui peut vous sauver votre épreuve !).

Trois conditions à  remplir pour pouvoir l’utiliser : le fait que la fonction soit strictement monotone, qu’elle soit continue, et qu’elle prenne ses valeurs autour de 0 (ou du nombre demandé dans l’énoncé). Après, la question qui  vient toujours c’est “donné une valeur approchée de \alpha” ou “donnez un encadrement de \alpha. C’est là où votre virtuosité dans la maîtrise de votre calculatrice est essentielle. On appelle communément cette technique “la méthode de balayage”. Essayez de découvrir avant l’examen comme effectuer cela avec votre calculatrice.

Par exemple, vous trouverez sur ce lien un exemple pour le faire avec les calculatrices Texas Instrument : https://www.youtube.com/watch?v=8-MJkfOqjLE. D’autres vidéos existent pour les autres modèles de calculatrice.

Enfin, trêve de blabla, voici maintenant le dernier énoncé. Puis, comme d’habitude, NE REGARDEZ PAS LA CORRECTION AVANT D’AVOIR ESSAYE L’EXERCICE !

Sujet de l’exercice

On note f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + \infty [ par :

    \[f(x) = \dfrac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}\]

On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthornormal (O;\vec{i};\vec{j}). L’unité graphique est 1cm.

1/ Etude des limites

a/ Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0.

b/ Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers + \infty.

c/ Quelles conséquences peut-on déduire de ces résultats pour la courbe \mathcal{C} ?

2/ Etude des variations de la fonction f

a/Démontrer que la fonction dérivée de la fonction f s’exprimer, pour tout réel x strictement positif, par :

    \[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4} e^{\frac{1}{x}} (2x + 1)\]

b/ Déterminer le signe de f' et en déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle ]0 ; + \infty[.

c/ Démontrer que l’équation f(x)= 2 a une unique solution, notée \alpha, appartenant à l’intervalle ]0 ; +\infty[, et donner la valeur approchée de \alpha arrondie au centième.

3/ Tracer la courbe \mathcal{C} dans le repère orthonormal (O;\vec{i};\vec{j}).

Coup de pouce

Étude de limites

a/ Pas de difficulté dans cette limite si on y va pas à pas.

b/ De même.

c/ Lorsqu’on obtient des limites finies, on en déduit la présence d’asymptotes horizontale ou verticales. Il peut aussi y en avoir des obliques, mais dans ce cas l’énoncé posera plusieurs questions intermédiaires pour vous amener à ce résultat.

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Etude des variations de f

a/ Toujours préciser pourquoi la fonction est dérivable ! Tout correcteur digne de ce nom attend les mathématiciens au tournant sur cette question ! Ici, quand on aborde le calcul (qui n’est pas évident !), surtout bien prendre le temps d’écrire les fonctions en jeu. On évitera comme ça les erreurs de calcul (comme moi en tapant ce corrigé !).

b/ Question simple, le signe ne varie pas.

c/ Le fameux théorème des valeurs intermédiaires !

3/ Ne pas oublier de tracer tout ce qui a été trouvé dans les questions précédentes : les asymptotes, le point particulier.

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Correction de l’exercice

Fonctions, exercice 6

En conclusion, et comme d’habitude, à la moindre question, la zone de commentaires est faite pour ça ! Si vous avez aimé ce petit travail pour les révisions, n’hésitez pas non plus à liker la page, voire à liker le site, ça fait toujours plaisir 🙂

Et bien sûr, bon courage pour mardi ! Je posterai une correction du sujet dans la semaine, si de bonnes âmes veulent bien me le scanner 🙂


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