Fonctions, Exercice 7 – Technicien Géomètre 2017

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Et voilà, de nombreuses étapes importantes sont passées pour tout le monde. Tout d’abord, nous avons eu les résultats du concours d’inspecteur des finances publiques ! Et  je tiens à dire que tous ceux qui ont posté un commentaire sur ce blog ont eu le concours Smile Et ouais ! C’est moi qui vous le dit, mais 19 en maths porte chance, gloire, prospérité, argent et retour de l’être aimé !

De mon côté, j’ai dû gérer une étape essentielle dans la vie d’un inspecteur stagiaire : les mutations, aussi connu sous le nom de “où vais-je atterrir l’an prochain ?”. Comme je me dirige vers la recherche et le contrôle fiscaux, j’ai postulé pour des endroits bien sympathiques comme la DNEF, la DVNI, et les DIRCOFI, un peu partout en France. Je ferai certainement un prochain billet, si ça vous intéresse, sur les quelques services qui émaillent la DGFiP. En tout cas, la réponse pour sera mi mai !

Maintenant que ces grosses étapes sont passées, je vais pouvoir reprendre un peu les corrections d’exercices de concours. Comme les inscriptions pour le concours de Technicien Géomètre viennent tout juste d’ouvrir, je me propose donc de reprendre du service avec un petit exercice de fonctions tombé au concours 2017. Rien d’insurmontable pour cet exercice, les notions sont les essentiels du domaine de l’analyse de fonction, mais cette fois avec un soupçon de trigonométrie qui n’avait encore jamais franchi les portes de ce blog ! Bien sûr, comme toujours, ne regardez pas la correction avant d’avoir cherché l’exercice !

Le sujet

Soit f la fonction numérique de variable réelle définie sur [0 ; \pi] par :

    \[f(x) = -1 + \dfrac{1}{2} \sin^2 x\]

On désigne par \mathcal{C} la courbe représentative de f dans un plan P rapporté à un repère orthonormé (0 ; \vec{i} ; \vec{j}) d’unité graphique 3cm.

1/ Étudier les variations de f. Construire la courbe \mathcal{C} dans le plan P.

2/ a/ Exprimer, pour tout x \in [0; \pi], f(x) à l’aide de \cos 2x.

b/ Calculer en cm^2 l’aire de la partie du plan P limitée par la courbe \mathcal{C}, les deux axes de coordonnées et la droite d’équation x = \pi.

3/ Utiliser la question 2a pour exprimer [f(x)]^2 à l’aide de \cos 2x et \cos 4x.

En déduire la valeur efficace E de f, c’est à dire \sqrt{\dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^\pi [f(x)]^2 \mathrm{d}x}.

Coup de Pouce

Exercice 7 - Fonctions

1/ Pas de difficulté : on utilise la dérivée de f pour déterminer son sens de variations.

2/ a/ Première formule de trigonométrie de l’exercice : \cos 2x = 1 - \sin^2 x.

b/ On utilise l’intégrale de f, en faisant attention à deux pièges :

– La courbe \mathcal{C} se trouve sous l’axe des abscisses, donc l’intégrale calculée n’aura pas le bon signe pour l’aire ;

– l’unité graphique est de 3 cm, alors que l’intégrale nous donne une aire en “unité d’aire”.

3/ Deuxième formule trigonométrique de l’exercice : \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}. Puis il s’agit d’un calcul d’intégrale sans difficulté.

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Correction et Conclusion

Voici la correction du sujet : Correction Exercice 7 – Technicien Géomètre 2017

Je vous l’ai déjà dit, mais pour le moment, c’est moi qui choisi les sujets des exercices que je mets sur ce blog. Bien sûr, je me focalise sur les sujets donnés aux concours. Mais si de votre côté, vous avez des exercices dont vous souhaitez avoir une correction, n’hésitez pas à me proposer votre énoncé Smile

Et en attendant, bon courage à tous pour les révisions !


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