Fonctions, exercice 2 – Annales de concours

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Continuons notre petit tour d’horizon des exercices qui ont toutes les chances de tomber à l’épreuve de contrôleur dans quelques jours. Après les suites, voici maintenant l’immanquable, j’ai nommé les fonctions ! Oui, je sais, ça me fait autant plaisir que vous pour être honnête 🙂 Mais je ne crois pas avoir trouvé un seul sujet de concours sans analyse de fonction à effectuer. Et souvent, il s’agit d’un exercice central, long la plupart du temps, qui vous fera gagner de nombreux points si vous maîtrisez les méthodes élémentaires. Donc autant s’y mettre !

Pour cette fois, j’ai choisi de corriger un exercice donné au concours de contrôleur des finances publiques de 2017. Celui-ci regroupe un large panel des compétences attendues pour ce concours : la dérivabilité, l’étude de signe, l’étude de limites, les opérations avec le calcul littéral et les intégrales.

Une petite précision concernant l’un de ces points. J’ai pour habitude de dire qu’en mathématiques, c’est très rare qu’il faille apprendre par cœur des formules. Si on comprend d’où elles viennent, et notamment leurs démonstrations, l’idée sera suffisante pour retrouver les résultats. J’expliquerai dans un prochain billet comment je retrouve toutes les formules de trigonométrie alors que je n’en connais qu’une seule. Mais ce constat souffre d’un contre-exemple absolu : la dérivation. Pour le concours, il faut absolument connaître deux tableaux, à savoir celui des dérivées usuelles, et celui de la composition de dérivées.

Tableau de dérivation

Et maintenant qu’on a ça en tête, c’est parti pour l’exercice du jour !

Énoncé de l’exercice

Cet exercice a pour but d’étudier la fonction f définie sur ]0;+\infty[ par

    \[f(x) = \dfrac{x + 2 + \ln x}{x}\]

La courbe \mathcal{C} est représentative de la fonction f dans le repère (O;\vec{i};\vec{j}) d’unité graphique 2cm.

PARTIE I : LIMITES, ASYMPTOTES, VARIATIONS

1/ Limites

a) Calculer la limite de f en 0^+.

b) Vérifier que pour tout x \in ]0 ; + \infty [, f(x) = 1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{\ln x}{x}.

c) Déterminer la limite de f en + \infty.

2/ Asymptotes

a) En déduire l’existence de deux asymptotes à la courbe \mathcal{C}. On appellera d

l’asymptote verticale et d' l’asymptote horizontale.

b) Donner les équations de ces deux droites.

3/ Sens de variation

On appellera f' la fonction dérivée de f.

a) Démontrer que pour tout x \in ]0 ; + \infty [, f'(x) = \dfrac{-1 - \ln(x)}{x^2}.

b) Montrer que f' s’annule en e^{-1} en changeant de signe.

c) Déterminer la valeur de f(e^{-1}).

d) Dresser le tableau de variations de f.

PARTIE II : POSITION RELATIVE

Soit g la fonction définie sur ]0; + \infty[par g(x) = 1 + \dfrac{2}{x} et \mathcal{H} sa courbe représentative dans le repère (O;\vec{i};\vec{j}).

Soit K le point d’intersection des courbes \mathcal{C} et \mathcal{H}.

1/ Étude de la fonction g.

a) Étudier les limites de g en 0^+ et + \infty.

b) Déterminer g', fonction dérivée de g.

c) Dresser le tableau de variations de g.

2/ Étude de f(x) - g(x)

a) Calculer f(x) - g(x).

b) Étudier le signe de f(x) - g(x).

c) En déduire la position de \mathcal{C} par rapport à \mathcal{H} à l’aide d’un tableau.

3/ Donner les coordonnées exactes du point K.

PARTIE III : CALCUL D’UNE AIRE

Soit \mathcal{A} l’aire du domaine limité par les courbes \mathcal{C} et \mathcal{H}, et par les droites d’équations x = 1 et x = e^2.

1/ Soit P la fonction définie sur ]0;+\infty[ par P(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2. Vérifier que P est une primitive de x \mapsto \dfrac{\ln x}{x} sur ]0; +\infty[.

2/ Calculer l’aire \mathcal{A} en cm^2.

Coup de pouce

Coup de Pouce

On peut résoudre la plupart des questions de cet exercice grâce à la maitrise des techniques de base pour les fonctions, à savoir :

– la dérivation ;

– l’étude de signe ;

– les études de limite ;

– les opérations avec du calcul littéral ;

– les intégrales.

PARTIE I : LIMITES, ASYMPTOTES, VARIATIONS

1/ c) Le théorème des croissances comparées permet de lever l’indétermination

2/ a) Pour ma correction, j’ai lié les deux questions a et b ! Je ne vois pas très bien pourquoi on doit distinguer les deux alors que la second donne directement la première.

PARTIE III : CALCUL D’UNE AIRE

1/ Il suffit de dériver P et de remarquer qu’on obtient \dfrac{\ln x}{x} pour dire que P est UNE primitive (et non LA primitive) de x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}.

2/ Attention à deux choses : bien vérifier que \mathcal{C} ne passe pas au dessus et en dessous de \mathcal{H} sur l’intervalle considéré, et se rappeler que l’intégrale donne un résultat en “unité d’aire”, autrement dit pas directement en “cm^2“.

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Sujet et correction en PDF

Sujet et Correction de l’exercice

Bien sûr, comme toujours, si jamais il y a des incompréhensions, posez vos questions en commentaire !


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