Suites, exercice 1 – Annales de concours

Partager l'article
  •  
  • 1
  •  
  •  
  •  

Et oui, il aura fallu un lifting, un petit recentrage, 10 mois et 16 790 km pour que ce blog reparte sur de nouvelles bases 🙂 Mon but sera maintenant de me concentrer sur les concours de la fonction publique. Je suis assez étonné que les mathématiques soient souvent oubliées par toutes les officines de préparation aux concours.

Pour (re)commencer cette nouvelle version de “19 en maths !”, ayons une petite pensée émue pour les contrôleurs des finances publiques qui vont plancher d’ici trois semaines sur leurs écrits. Je posterai donc quelques articles pour réviser les immanquables qui ont toutes les chances de tomber à l’épreuve.

Et bien sûr, dans ces immanquables, les suites ! Avec sa “tant redoutée” démonstration par récurrence (mais je vous promets, ça n’a pas lieu d’être ici). Pour réviser ça, je propose aujourd’hui l’exercice 5 qui était posé au concours de contrôleur des finances publiques de 2015. Oui, je ne le cache pas, j’avais planché moi-même dessus !

Dans cet exercice, on se retrouve face à un classique, à savoir les suites arithmético-géométrique. Elles font partie principalement du programme de Terminale ES, et les annales de bac ES foisonnent d’exemples pour l’étude de ces suites particulières. Si les concepteurs de sujets en sont si friands, c’est parce qu’il s’agit d’un exercice simple, mais faisant intervenir un large panel de compétences sur les suites : sens de variation, limite, suites géométriques, calcul de somme. Et celui là n’y échappe pas !

Comme toujours pour les exercices, je poste le sujet, mais inutile d’aller regarder la correction si vous n’avez pas pris une feuille et un stylo pour tenter de le résoudre avant. Il n’y a que par les tentatives personnelles, même quand elles ratent, qu’on comprend vraiment une correction de mathématiques.

Énoncé de l’exercice

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 5 et pour tout n \in \mathbb{N} par 3u_{n+1} = u_n +4.

1/ Calculer u_1 et u_2.

2/ Démontrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_n \geq 2.

3/ Montrer que (u_n) est une suite décroissante.

4/ Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminez sa limite.

5/ On pose, pour tout n \in \mathbb{N}, v_n = u_n - 2.

Montrer que (v_n) est une suite géométrique. En déduire l’expression de v_n en fonction de n.

6/ Soit S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n et T_n = u_0 + u_1 + ... + u_n.

Déterminez l’expression de S_n, puis l’expression de T_n en fonction de n.

7/ Déterminez \displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} S_n et \displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} T_n

Coup de pouce

Coup de Pouce

1/ Pas de soucis pour cette question.

2/ Il faut effectuer une démonstration par récurrence, qui est simple ici.

3/ Toujours la même technique pour démontrer qu’une suite est décroissante, étudier le signe de u_{n+1} - u_n.

4/ Reprendre les résultats des questions 2 et 3 pour démontrer qu’elle converge, puis étudier les points fixes de f(x) = \dfrac{x+4}{3} pour déterminer la limite.

5/ Démontrer qu’une suite (v_n) est géométrique revient soit à trouver comment écrire v_{n+1} en fonction de v_n (demande souvent du feeling), soit de prouver que \dfrac{v_{n+1}}{v_n} est constante pour tout n (plus calculatoire, souvent long, mais ça marche très bien).

6/ Se rappeler de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique.

7/ L’étude de signe se fait sans problème majeur.

[collapse]

Sujet et correction en PDF

Sujet et Correction de l’exercice

Et bien sûr, comme d’habitude, n’hésitez pas à commenter s’il reste une question non comprise 🙂


Partager l'article
  •  
  • 1
  •  
  •  
  •  
  •  
    1
    Partage
  • 1
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.