Et oui, il aura fallu un lifting, un petit recentrage, 10 mois et 16 790 km pour que ce blog reparte sur de nouvelles bases 🙂 Mon but sera maintenant de me concentrer sur les concours de la fonction publique. Je suis assez étonné que les mathématiques soient souvent oubliées par toutes les officines de préparation aux concours.
Pour (re)commencer cette nouvelle version de “19 en maths !”, ayons une petite pensée émue pour les contrôleurs des finances publiques qui vont plancher d’ici trois semaines sur leurs écrits. Je posterai donc quelques articles pour réviser les immanquables qui ont toutes les chances de tomber à l’épreuve.
Et bien sûr, dans ces immanquables, les suites ! Avec sa “tant redoutée” démonstration par récurrence (mais je vous promets, ça n’a pas lieu d’être ici). Pour réviser ça, je propose aujourd’hui l’exercice 5 qui était posé au concours de contrôleur des finances publiques de 2015. Oui, je ne le cache pas, j’avais planché moi-même dessus !
Dans cet exercice, on se retrouve face à un classique, à savoir les suites arithmético-géométrique. Elles font partie principalement du programme de Terminale ES, et les annales de bac ES foisonnent d’exemples pour l’étude de ces suites particulières. Si les concepteurs de sujets en sont si friands, c’est parce qu’il s’agit d’un exercice simple, mais faisant intervenir un large panel de compétences sur les suites : sens de variation, limite, suites géométriques, calcul de somme. Et celui là n’y échappe pas !
Comme toujours pour les exercices, je poste le sujet, mais inutile d’aller regarder la correction si vous n’avez pas pris une feuille et un stylo pour tenter de le résoudre avant. Il n’y a que par les tentatives personnelles, même quand elles ratent, qu’on comprend vraiment une correction de mathématiques.
Énoncé de l’exercice
On considère la suite 
définie par 
et pour tout 
par 
.
1/ Calculer 
et 
.
2/ Démontrer que, pour tout , 
.
3/ Montrer que est une suite décroissante.
4/ Montrer que la suite est convergente et déterminez sa limite.
5/ On pose, pour tout , 
.
Montrer que 
est une suite géométrique. En déduire l’expression de 
en fonction de 
.
6/ Soit 
et 
.
Déterminez l’expression de 
, puis l’expression de 
en fonction de .
7/ Déterminez 
et 
Coup de pouce
1/ Pas de soucis pour cette question.
2/ Il faut effectuer une démonstration par récurrence, qui est simple ici.
3/ Toujours la même technique pour démontrer qu’une suite est décroissante, étudier le signe de 
.
4/ Reprendre les résultats des questions 2 et 3 pour démontrer qu’elle converge, puis étudier les points fixes de 
pour déterminer la limite.
5/ Démontrer qu’une suite est géométrique revient soit à trouver comment écrire 
en fonction de (demande souvent du feeling), soit de prouver que 
est constante pour tout (plus calculatoire, souvent long, mais ça marche très bien).
6/ Se rappeler de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique.
7/ L’étude de signe se fait sans problème majeur.
Sujet et correction en PDF
Sujet et Correction de l’exercice
Et bien sûr, comme d’habitude, n’hésitez pas à commenter s’il reste une question non comprise 🙂
Bonjour,
merci pour ce site et les corrections! BIen utile pour ma préparation au concours pour la session 2021-2022!
Une question sur cet exercice, question 6/, donner l’expression de Tn en fonction de n.
Est-ce que l’on a pas plutot:
Tn=Sn+2(n+1), plutôt que Tn=Sn+2n ?
Pour moi on enlève (n+1) fois 2, car il y a une somme de n+1 termes dans la somme Tn?
Merci de lever mon doute!