Entraînement 5/8 - Oral inspecteur des finances publiques

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Bon, ok, j’admets… j’ai encore pris du retard dans la conception de cet entraînement à l’oral ! Ah les fêtes de fin d’année, la joie des opulences, des lendemains difficiles, des crises de foie par le trop plein de chocolat, du coma glycémique et des visites impromptues de toute la famille. Mais avouez que vous aussi vous avez pris quelques jours loin de vos révisions 🙂 Comment ça, non ? ^^
Ceci dit, quelque chose m’a fait plaisir aujourd’hui : j’ai reçu mon premier message de l’histoire de ce blog pour me rappeler à l’ordre ! Donc une grand merci tigermath ! Bien sûr, de manière très courtoise et polie. Ce message m’a cependant prouvé que mon travail sert donc, et franchement ça me fait plaisir 🙂

C’est donc parti pour ce nouvel entraînement, pour lequel je vous souhaite bien du courage !

Correction de l’entraînement oral 4

Comme promis, il s’agissait de deux exercices qui, bien que présents au programme, sont peu fréquemment utilisés. Cependant, je pense qu’en maîtrisant au moins les rudiments des espaces vectoriels, vous pouvez faire la différence.

Vous pouvez retrouver les sujets ici : Entraînement oral 4.

J’avais donc choisi un premier exercice qui reprenait tout d’abord le moyen de caractériser les espaces vectoriels (et c’est toujours la même méthode à appliquer), puis qui revenait sur les suites récurrentes d’ordre 2. En soit, cette question n’était pas trop difficile, mais permettait aussi de revenir sur les formules à connaître (malheureusement, par coeur…) sur le sujet.

Le second exercice concernait quelques notions des espaces vectoriels. La détermination du noyau et de l’image d’une application linéaire (ici, un endomorphisme), et surtout l’application du théorème fondamental dans les espaces vectoriels de dimension finie, à savoir le théorème du rang.

Il est possible que ces deux sujets mis bout à bout aient pris plus que 20 minutes à résoudre. Mais prenez-les surtout comme des révisions de notions.

Correction entraînement oral 4 – Inspecteur des finances publiques

Avant propos

Cette fois-ci, j’ai trouvé deux exercices de niveau L1 de mathématiques et MPSI. Pour être honnête, ils font suite à une remarque que l’on m’a adressé sur l’entraînement oral précédent : “j’avais complètement oublié comment on travaille avec des suites récurrentes linéaires d’ordre 2”. Moi-même, durant mon oral, j’avais séché sur une notion parce que je n’en avais aucun souvenir. Je me suis donc penché sur deux exercices qui viennent de nouveau s’attarder sur quelques notions à revoir, afin d’en connaître les méthodes essentielles, mais sans rentrer dans une connaissance encyclopédique.
Par contre, je ne vais pas le cacher : les deux exercices que je propose aujourd’hui sont dans un domaine que je maîtrise moins bien que le reste (celui qui a deviné que c’est de l’analyse marque un point ^^), et la correction a été difficile à taper. J’en déduis donc qu’il est probable qu’il faille plus que 20 minutes pour les préparer 🙂

Je vous propose donc, de nouveau, de prendre cet entraînement non pas pour un sujet exact qui pourrait tomber à l’oral, mais pour un petit retour sur les notions essentielles à maîtriser.

Le sujet

EXERCICE 1

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x) = \sum_{n \geq 1} \sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right) x^n$

1/ Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.

2/ Étudier la convergence en $-R$ et en $R$ .

EXERCICE 2

Déterminer la nature des séries numériques dont les termes généraux sont les suivants :

1/ $u_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$

2/ $v_n = \dfrac{n^{10000}}{n!}$

3/ $w_n = \dfrac{(\sin(\alpha))^{2n}}{n^2}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$

Coup de pouce

EXERCICE 1

1/ Avant tout, remarquer que $\left| \sin \left( \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right) x^n \right| \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{\sqrt{n}} |x|^n = \dfrac{1}{n^{1/2}} e^{n \ln |x|}$ .

Ensuite, discuter selon les valeurs de $x$ . Pour rappel, on a le théorème suivant :

S’il existe $z \in \mathbb{C}$ tel que la suite $(u_n z^n)$ tende vers 0, alors $R \geq |z|$ .

2/ Pour $x = 1$ , on tombe sur une série de Riemann. Pour $x = -1$ On utilisera cette fois le critère des séries alternées.

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EXERCICE 2

1/ Si la série de terme général $u_n$ converge, alors $\displaystyle \lim_{n \mapsto + \infty} u_n = 0$ .

2/ On peut utiliser le critère de d’Alembert :

On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > 0$ , et que $\displaystyle \lim_{n \mapsto + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = l$ . Alors :

– Si $l < 1$ , la série de terme général $u_n$ converge ;

– Si $l > 1$ , la série de terme général $u_n$ diverge ;

– Si $l = 1$ , on ne peut pas conclure.

3/ On peut utiliser le critère de Cauchy :

On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > 0$ , et que $\displaystyle \lim_{n \mapsto + \infty} \sqrt[n]{u_n} = l$ . Alors :

– Si $l < 1$ , la série de terme général $u_n$ converge ;

– Si $l > 1$ , la série de terme général $u_n$ diverge ;

– Si $l = 1$ , on ne peut pas conclure.

On pourra lever l’indétermination de cet exercice pour certaines valeurs de $\alpha$ en remplaçant la valeur problématique de $\sin^2 (\alpha)$ dans l’expression initiale de $w_n$ .

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Conclusion

Encore une fois, je ne peux que remercier ceux qui prennent le temps de me contacter, que ce soit au travers des commentaires sous les articles ou par la section contact : ça me permet d’adapter les entraînements. D’ailleurs, s’il y a quelques sujets que vous souhaitez aborder pour les prochains sujets, n’hésitez pas à m’en faire part. Et, comme toujours, si ce travail vous sert, voire vous plait, n’hésitez pas à poucebleuter le blog grâce à l’encadré présent en haut de la page, dans la colonne de droite 🙂

Rendez-vous au prochain billet !

6 commentaires

Répondre

6 janvier 2018
david

L’exercice sur l’application linéaire avec comme vecteurs de base des “matrices” est très intéressant !! Ce n’est pas courant et il permet de revoir des notions de bases
Ton commentaire sur les suites récurrentes d’ordre 2 me rassure….je n’ai aucun souvenir de cette résolution !!?? j’ai vérifié le programme, cette notion y est !! Donc merci, car je ne l’avais pas vu….donc je vais travailler ce point.
Demande : aurais tu des exercices d’entrainement sur les fonctions hyperboliques ( à part des DL , je ne vois pas trop l’intérêt
- Répondre
  
  6 janvier 2018
  Dryss
  
  Tout de suite, je ne cache pas que j’en ai aucun ! À part dans les DL, et parfois dans quelques exercices sur des intégrales, je ne vois aucune application des fonction hyperboliques. Je vais regarder si je peux préparer ça cette semaine.
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8 janvier 2018
Arendal

Salut ! D’abord merci pour ton travail, c’est top ! Pour le 2e exo 3e question peut-on utiliser une comparaison aux séries de Riemann plutôt que le critère de Cauchy ? Vas-tu publier les 3 entrainements restant avant le 15 ?
Moi aussi je déteste l’analyse (l’algèbre c’est le bien) alors c’est pas mal ce type d’exo ça permet de se frotter à des trucs pas beaux ^^
- Répondre
  
  8 janvier 2018
  Dryss
  
  Bonjour amie algébriste !
  
  Alors, en ce qui concerne l’argument des séries de Riemann, j’imagine qu’il peut être pertinent étant donné qu’il s’agit ici d’une série à termes positifs. Voire l’argument de la règle des “n^s u_n” (tout en bas de ce lien) permet de torpiller la question simplement ! Mais je voulais proposer une étude selon le critère de Cauchy pour en rappeler son existence, mais je te l’accorde que ce n’est pas forcément le plus efficace !
  
  Et pour ce qui est de publier les trois autres entraînements cette semaine… advienne que pourra, mais je t’accorde qu’il est possible que j’ai surestimer mes capacités de recherche de sujet, création de correction, et publication d’article étant donné la période des fêtes ! Mais je vais faire ce que je peux, promis !
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14 janvier 2018
MAUD

Bonjour,
Pareil question 3 exo 2 il suffit de majorer le TG par 1/n² et c’est terminé il me semble …
Et sinon pas d’accord j’adore l’analyse ! C’est vraiment l’algèbre qui fait des trucs pas beaux ;-))
- Répondre
  
  14 janvier 2018
  Dryss
  
  Je suis d’accord avec toi pour cette majoration. Comme je le dis souvent, il n’y a pas qu’une seule manière de résoudre un exercice en mathématiques (mais qu’une seule solution !). L’utilisation des séries de Riemann est bien plus rapide, ma méthode permet simplement de rappeler qu’il existe le critère de Cauchy qui sert bien parfois 🙂
  
  Et pour la question de l’analyse VS l’algèbre… l’hérésie était punie du bûcher dans un autre temps :p