Entraînement 6/8 – Oral inspecteur des finances publiques

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Bon, j’ai une confession à faire… un mensonge s’est glissé dans ce titre ! Comme dans tous les billets précédents qui portaient sur la préparation à l’oral d’inspecteur. Alors je vais le dire les yeux dans les yeux (expression très populaire au ministère de l’économie et des finances), sans fard et sans honte, mais il n’y aura pas 8 entraînements pour cette année. J’entends déjà d’ici les cris d’effroi, les dames se pâmant, les hommes brandissant le poing (ou l’inverse, je n’arrive pas très bien à discerner), mais je dois admettre que j’avais omis un détail lorsque j’avais prévu mon planning de prévision des entrainements : les vacances + les fêtes de fin d’année. Mais bon, je vais quand même tenter d’en publier sept, ce qui sera presque la réussite de mon projet 🙂

Par contre, histoire de ne pas favoriser les candidats qui ne passent pas le lundi à 8h (que les malchanceux lèvent la main en commentaire !), je ne publierai aucun billet durant la semaine des oraux.

Ceci dit, je repasse le message ici : je récolterai avec plaisir vos sujets, et vous proposerai un point de vue voire une correction personnelle 🙂 Donc n’hésitez pas, si vous avez un peu de temps après l’épreuve, ou que vous avez besoin de vous consoler/rassurer/maudire, je suis là pour ça !

Correction de l’entraînement oral 5

Lorsqu’on est enseignant, il y a un règle, implicite, et qu’on découvre assez tôt : la loi du triple retour. Les élèves sont infernaux en cours, donc tu tentes de donner une interro surprise pour y remédier ? Et paf tu vas passer trop de temps à corriger une fois chez toi. Tu donnes un sujet de devoir difficile parce que tu es un petit peu sadique sur les bords ? Et paf, rédiger la correction du sujet est difficile aussi, ce qui te prend beaucoup de temps.

Et je ne cache pas que c’est un peu ce dernier point qui est arrivé avec le sujet de l’entrainement 5. Déjà qu’à la base, j’abhorre et exècre l’analyse, mais en plus sur un sujet que 5 ans de collège ont relégué au rang des oubliettes… vous n’imaginez pas combien de temps j’ai passé dessus !

Ceci dit, ça me semblait nécessaire. Parce que les séries (entières et numériques) sont au programme, et que ce sont toujours les mêmes techniques qui reviennent. Ici, il fallait donc principalement maîtriser les critères de Cauchy et de d’Alembert (bien qu’on m’ait fait remarquer que d’autres techniques étaient possibles), retrouver les fondamentales séries de Riemann, et connaître quelques notions sur les rayons de convergence. Ce que votre serviteur avait omis de faire à son propre oral l’an passé !

Aussi, j’espère quand même que vous n’avez pas trop galéré, et que ça vous a permis de nouveau de remettre un peu les mains dans le cambouis !

Correction Entraînement Oral 5 – Inspecteur des finances publiques

Avant propos

Cette fois-ci, on revient sur des sujets que je préfère largement, et plus court (enfin je pense). Un peu de calculs tout de même pour l’exercice 1, mais j’ai encore exhumé des limbes du programme officiel une petit partie qu’il est simple de maîtriser et qui peut faire la différence. Cet exercice, je l’ai de nouveau trouvé dans des annales de khôlles pour prépa MPSI.

Pour le second, il s’agit d’un exercice posé à l’oral de concours de grandes écoles d’ingénieurs, mais que j’ai un peu simplifié dans son énoncé. En effet, j’ai détaillé en 6 questions ce  que le sujet de base ne faisait qu’en deux. Le but avoué ici est de vous faire revenir sur les notions du programme, et non pas de vous faire réfléchir tels des bêtes à concours tout droit émoulus de deux ans de prépa. De plus, cet énoncé fait intervenir le I du programme, à savoir la partie qui me semble la plus nébuleuse tant elle se réfère à tout et à rien. En effet, une démonstration par l’absurde est présentée.

Bon courage pour les traiter !

Le sujet

EXERCICE 1

1/ Décomposer dans \mathbb{R}[X] les fractions rationnelles suivantes :

a/ F_1 = \dfrac{X^2 + 3X + 5}{X^2 - 3X +2}

b/ F_2 = \dfrac{X^2 - X - 6}{(X-3)^2(X-5)^2}

2/ Décomposer dans \mathbb{C}[X] la fraction rationnelle suivante : F_3 = \dfrac{1}{X^6 +1}

EXERCICE 2

On désire établir qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1. Pour cela, on résonne par l’absurde : on suppose qu’il existe un nombre fini r de nombres premiers de la forme 4n+1, que l’on note p_1, p_2, p_3, … , p_{n-1} et p_r.

On pose N = (2 p_1p_2p_3...p_r)^2 +1.

1/ Démontrer que 2 n’est pas un diviseur de N.

2/ Démontrer qu’un nombre premier de la forme 4n+1 ne peut diviser N.

3/ On suppose qu’il existe un facteur premier q de N de la forme 4n+3

a/ Établir que (2p_1 p_2 p_3 ... p_r)^{q-1} \equiv -1 [q]

b/ Établir que (2p_1 p_2 p_3 ... p_r)^{q-1} \equiv 1 [q]

c/ En déduire qu’un nombre de la forme 4n+3 ne peut diviser N.

4/ Conclure

Coup de pouce

EXERCICE 1

1/ a/On a une décomposition de la forme a + \dfrac{b}{X-1} + \dfrac{c}{X - 2}. Puis on étudie des limites bien choisies pour déterminer a, b et c.

b/ Penser d’abord à simplifier le quotient avant de passer à une décomposition, qui fait cette fois intervenir une racine double. La forme de la décomposition sera \dfrac{a}{X - 3} + \dfrac{b}{X - 5} + \dfrac{c}{(X - 5)^2}.

Ensuite, on détermine a et c par une étude de limite, puis b en remplaçant X par un réel bien choisi.

2/  Trouver les six solutions de X^6 = 0. Puis décomposer F en utilisant la “formule des résidus”.

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EXERCICE 2

1/ Utiliser un argument de parité.

2/ Se rappeler qu’un nombre premier de la forme 4n+1 fait forcément partie de la liste p_1 p_2 …

3/ a/ Petit jeu d’écriture en utilisant les congruences.

b/ Utiliser le petit théorème de Fermat.

c/ Conclusion simple.

4/ Terminer la démonstration par l’absurde.

[collapse]

 

Conclusion

Allez, je sais qu’il ne reste que cinq jours avant les épreuves, et le stress doit probablement commencer à monter. Ceci dit, rappelez-vous que les mathématiciens ont un avantage indéniable comparé aux autres matières. En effet, ce sont toujours ceux qui obtiennent les notes les plus  fortes ! Tant à l’écrit qu’à l’oral, quelqu’un qui compose en droit ou en économie dépasse rarement 15, ce qui n’est pas le cas chez nous, vu qu’on peut arriver jusqu’à… 19 ? Alors courage, profitez bien de revoir les autres entraînements et celui qui devrait arriver vendredi ou samedi… en attendant un dernier billet surprise dimanche !

Et en attendant, comme toujours, n’hésitez pas à me faire des retours sur n’importe quel point, voire à cliquer sur tous les boutons j’aime que vous trouverez sur cette page 🙂


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2 commentaires

  1. Salut !
    Petite question, que désigne N dans ton 2eme exo ? Merci pour ce nouvel entrainement !

    • Effectivement, une partie de l’exercice a été coupée au montage ! Correction apportée, merci pour ta veille !

      Bon courage !

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