Entraînement 4/8 – Oral inspecteur des finances publiques

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Bon, nous arrivons à la moitié de ce petit programme d’entraînement pour l’oral d’inspecteur des finances publiques. Je ne vous cache pas que je suis heureux de voir que plusieurs personnes suivent celui-ci. Alors que ce blog n’a qu’un mois et demi de vie, je suis franchement content de voir que celui-ci peut servir à certains 🙂 Bref, merci à vous de me suivre !

Mais bon, trêve de blabla, on revient dans le vif du sujet ^^

Correction de l’entraînement oral 3

Comme je vous l’avais dit, il s’agissait cette fois d’un sujet de ma propre composition, dont vous pourrez retrouver l’article ici. Bon, je n’ai pas inventé les exercices, il s’agissait de sujets proposés durant les khôlles de prépas de première année (MPSI pour les intimes). Mais apparemment, j’ai eu des retours à propos de la trop grande facilité de ceux-ci 🙂 Malheureusement, je ne suis pas (encore ? ^^) membre du jury, et ne suis pas au courant de tous les exercices posés à l’oral les années passées. Mais promis, j’essaie de modifier ces deux points !

D’ailleurs, si jamais vous voulez m’aider pour la suite, n’hésitez pas à m’envoyer une bafouille pour me dire quels ont été vos sujets durant l’oral 🙂

Enfin bref, ici le premier exercice portait sur quelques notions de polynômes et d’arithmétique. Tandis que le second se concentrait sur les notions et les suites.

Correction Oral Inspecteur des Finances Publiques 3

 Avant propos

Pour cette fois, je vous ai déniché deux exercices qui ont été posés aux oraux de concours CCP, écoles d’ingénieur accessibles après deux ans de prépa scientifique. Je ne cache pas un petit plaisir personnel d’axer cette fois les deux exercices sur autre chose que de l’analyse de fonction 🙂 Un jour, je vous expliquerai pourquoi je déteste ce domaine des mathématiques, mais ce n’est pas le sujet pour le moment.

Ces exercices portent sur un thème un peu atypique, dans le sens où je n’ai trouvé que très peu d’annales d’écrits abordant ces sujets. Pourtant, ils sont au programme, et donc peuvent potentiellement tomber aux oraux. Peut-être qu’on les considèrera de nouveau comme “faciles”, mais je pense que ça fera du bien de se rappeler les quelques notions essentielles qu’ils recouvrent, puisqu’on n’a pas l’habitude de plancher dessus.

Ce serait drôle de faire la différence à l’oral parce que vous maîtrisez un sujet peu à la mode !

Et pour rappel, voici de nouveau comment je vous propose d’aborder cet entraînement :

Réservez vingt minutes de votre temps, comme dans les conditions d’examen. Mettez un chrono s’il le faut. Dès que vous aurez lu les exercices que je propose, déclenchez le chrono et faites les. 20  minutes, et pas une de plus. Une fois terminé, si vous pensez avoir réussi, allez directement à la correction pour comparer les résultats. Si par contre vous  avez eu des difficultés, voire n’avez pas réussi à faire une question, consultez la partie Coup de pouce. Ça représente les idées que pourraient vous donner le jury pour tenter de vous aiguiller dans la réponse.

Le sujet

EXERCICE 1

Soit a un nombre complexe. On note E l’ensemble des suites à valeurs complexes telles que :

    \[\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = 2au_{n+1} + 4(ia - 1)u_n \qquad \mbox{ avec } (u_0 , u_1) \in \mathbb{C}^2\]

1/ Prouver que E est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites à valeurs complexes.

2/ Dans cette question, on considère la suite de E définie par u_0 = u_1 = 1. Exprimer, pour tout entier naturel n, le nombre complexe u_n en fonction de n.

EXERCICE 2

Soit la matrice A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\  2 & 4 \end{array} \right) et f l’endomorphisme de \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) défini par : f(M) = AM.

1/ Déterminer \ker (f).

2/ f est-elle surjective ?

3/ Trouver un base de \ker (f) et Im (f)

Coup de pouce

EXERCICE 1

1/ Pour démontrer que E est un SEV de l’ensemble des suites à valeurs complexes, on démontre que la suite nulle est dans E, et que n’importe quelle composition linéraire d’éléments de E est dans E.

2/Il faut connaître les formules à appliquer dans le cas des suites récurrentes d’ordre 2. De plus, il va y avoir une distinction de cas à effectuer.

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EXERCICE 2

1/ Petite résolution simple.
2/ Il faut se rappeler du corollaire du théorème du rang :

Soit f \in \mathcal{L}(E,F)E et F sont deux espaces vectoriels de même dimension finie, alors les propriétés suivantes sont équivalentes : f est injective, f est surjective, f est bijective.

3/ La base de \ker(f) est trouvée dans la question 1, le théorème du rang aide à rédiger proprement la base pour Im (f).

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Conclusion

Comme toujours, je ne peux que vous encourager à me faire des retours (comme j’ai pu en avoir pour l’entraînement 3 ! merci Maud !) concernant le sujet. Trop long, trop difficile, ou au contraire d’une simplicité enfantine. C’est grâce à vos remarques et commentaires que ce blog peut s’améliorer ! Et comme toujours, si mon travail vous plait, n’hésitez pas à partager cette page, voire à liker le site grâce à l’encart situé sur la colonne de droite de cet article 🙂

Bon courage pour le sujet, et je vous donne rendez-vous pour le prochain billet !


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2 commentaires

  1. Bonjour,
    Bon cette fois j’ai bien galéré ! En plus je n’ai jamais été fan d’algèbre linéaire … Bref, je pense que j’ai fini par m’en sortir en cherchant un peu dans mes bouquins de prépa, j’attends de voir la correction !
    En tout cas, merci de ces révisions, j’avais complètement oublié comment on travaille avec des suites récurrentes linéaires d’ordre 2 … avec en plus une équation du second degré à coefficients complexes !
    y’a encore du boulot …

    • Ça vous apprendra à me dire que les exercices précédents étaient trop simples :p

      Blague à part, content de voir que ces exercices ont permis de réviser quelques notions qui sont souvent dans l’oubli 🙂 Bon courage pour les prochains entraînements !

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