Entrainement 3/8 – Oral Inspecteur des finances publiques

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Ca y est, Noël est enfin passé ! J’espère que de votre côté vous n’avez pas abusé des chocolats ; de mon côté, j’ai été excessivement faible encore sur la question… Mais bon, ça ne m’empêche pas de penser à vous en ce 26 décembre pour la suite des entraînements à l’oral de maths d’inspecteur des finances publiques 🙂 Mon petit cadeau à moi quoi.

Correction de l’entraînement 2

Tout d’abord, revenons un peu sur le sujet de la fois passée, dont vous trouverez le sujet ici. Comme je vous l’avais dit, il s’agissait d’exercices qui ont été posés au concours l’an passé. Mais je ne cache pas que j’ai été surpris par la difficulté de l’exercice 1 sur les matrices. En soi, il n’y a pas de théorèmes complexes à mettre en œuvre, mais des calculs très poussés dans lesquels il est difficile de ne pas se tromper. Pour être honnête, même moi en tapant la correction, je me suis trompé deux fois. Alors je n’imagine même pas durant un concours.
Ceci dit, je rappelle tout de même une chose : quand bien même il s’agit d’un concours, le jury sera tout de même là pour vous évaluer, et vous indiquer vos erreurs pour que vous puissiez revenir dessus. D’où l’importance de ne pas effacer vos résultats lors de la première partie de l’oral.

Enfin, l’exercice 2 était plus simple, puisqu’une application du théorème de Rolle, qu’il est fondamental de maîtriser sur le sujet de l’analyse de fonctions.

Correction oral de maths 2 – Inspecteur des finances publiques

Avant propos

Cette fois-ci, le sujet d’oral est une proposition de mon propre cru. Ces exercices n’ont pas, à proprement parlé, été posés l’an passé. Cependant, ils correspondent au niveau que j’estime être exigible pour l’oral de mathématiques, et permettent de revoir quelques notions du programme. Pour cette fois, le sujet est composé d’un exercice de polynômes / arithmétique, et d’un second de suites. À mon sens, il est plus simple que l’entraînement 2, mais peut-être un poil long à traiter 🙂 N’hésitez pas à me dire si vous n’avez pas réussi à le traiter en 20 minutes.

Pour rappel, voici la façon dont je vous propose d’aborder cet entraînement :

Réservez vingt minutes de votre temps, comme dans les conditions d’examen. Mettez un chrono s’il le faut. Dès que vous aurez lu les exercices que je propose, déclenchez le chrono et faites les. 20  minutes, et pas une de plus. Une fois terminé, si vous pensez avoir réussi, allez directement à la correction pour comparer les résultats. Si par contre vous  avez eu des difficultés, voire n’avez pas réussi à faire une question, consultez la partie Coup de pouce. Ça représente les idées que pourraient vous donner le jury pour tenter de vous aiguiller dans la réponse.

Vous êtes prêt ? C’est parti ! Bon courage !

Le sujet

EXERCICE 1

1/ Soit P = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + ... + a_1 X + a_0 un polynôme de degré n \geq 1 à coefficients dans \mathbb{Z}. Montrer que si P admet une racine dans \mathbb{Z}, alors cette racine divise a_0.

2/ Déterminer l’écriture factorisée de X^3 - X^2 - 109X - 11.

EXERCICE 2

Dans tout l’exercice, on considère a et b deux réels strictement positifs tels que 0 < a \leq b.

1/ Montrer que \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}.

2/ Montrer les inégalités suivantes :

    \[a \leq \dfrac{a + b}{2} \leq b \qquad \mbox{ et } \qquad a \leq \sqrt{ab} \leq b\]

3/ Soient u_0 et v_0 deux réels strictement positif avec u_0 < v_0. On définit deux suites (u_n) et (v_n) telles que :

    \[u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \qquad \mbox{ et } \qquad v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2}\]

a/ Montrer que u_n \leq v_n pour tout n \in \mathbb{N}.

b/ Montrer que (v_n) est une suite décroissante.

c/ Montrer que (u_n) est une suite croissante.

d/ En déduire que les suites (u_n) et (v_n) sont convergentes et qu’elles ont une même limite.

Coup de pouce

EXERCICE 1

1/ Supposer qu’il existe une solution k \in \mathbb{Z}, puis chercher à écrire a_0 = k \times ....

2/ Pour rappel, si k est une racine du polynôme P, alors P = (X - K)Q. Grâce à l’application de la question 1, on trouve facilement une racine de P. Ensuite, on utilisera la méthode de factorisation des polynômes de second degré, avec la sempiternelle formule de b^2 - 4ac.

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EXERCICE 2

1/ Chercher, par équivalences successives, à démontrer que \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2} \Longleftrightarrow 0 \leq (a - b)^2.

2/ Pour démontrer que A \leq B, on cherche à démontrer que B - A est positif. Méthode à retenir dès qu’on vous demande une inégalité. Ca donne souvent beaucoup de calculs (pas ici), mais toujours le résultat cherché.

3/ a/ On passera par une démonstration par récurrence, qui est très simple ici grâce aux questions précédentes.

b/ Application de la question 2.

c/ Application de la question 2.

d/ Pour rappel, u_0 \leq u_n \leq v_n \leq v_0. On applique donc un théorème fondamental pour démontrer qu’elles sont convergentes. Ensuite, en posant l_u et l_v, on obtient l_u = l_v grâce à un calcul de limites.

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Conclusion

Comme toujours, la correction viendra lors du prochain billet. En attendant, bon courage pour traiter ce sujet. Et comme d’habitude, n’hésitez pas à poser vos questions en commentaire, voire à me soumettre vos propres exercices dont vous souhaiteriez voir la correction en passant par la page de contact !


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