Entraînement 1/8 – Oral inspecteur

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C’est parti maintenant pour les entraînements à l’oral de mathématiques pour les inspecteurs ! Le but des huit articles qui vont suivre jusqu’au 15 janvier sera de vous proposer des sujets qui pourraient tomber aux oraux. Pour rappel, ces sujets sont courts (deux ou trois exercices maximum), et doivent pouvoir se résoudre rapidement.

Il ne faut pas se cacher, le niveau des exercices proposés est souvent assez élevé. Particulièrement dans la maîtrise des théorèmes fondamentaux, et des méthodes revenant sans cesse. J’ai pour idée qu’on peut vous demander des exercices qu’on donne en khôlle de prépa. Cependant, ça ne doit pas vous faire peur ! Déjà parce que ce sont souvent les mêmes méthodes qui reviennent (vecteurs propres de matrices, recherche des zéros d’une fonction, expression de suite récurrente…). Ensuite, parce que le jury est vraiment là pour vous aider dans le cas où vous bloquez. Bref, soyez serein, une bonne préparation vous assurera une bonne note à cette épreuve !

20 minutes, pas plus !

Au début de l’épreuve, dans la phase de préparation, vous tirerez donc une enveloppe contenant deux sujets. En quelques secondes, il faut que vous sachiez lequel vous aller traiter. Ensuite, au brouillon, il faut faire votre résolution. Inutile de tout rédiger clairement, la feuille n’est pas rendue au jury. Mais soyez tout de même assez précis puisque vous vous fonderez sur cette feuille pour votre prestation au tableau !

Je vous propose donc ici de réserver vingt minutes de votre temps, comme dans les conditions d’examen. Mettez un chrono s’il le faut. Dès que vous aurez lu les exercices que je propose, déclenchez le chrono et faites les. 20  minutes, et pas une de plus. Une fois terminé, si vous pensez avoir réussi, allez directement à la correction pour comparer les résultats. Si par contre vous  avez eu des difficultés, voire n’avez pas réussi à faire une question, consultez la partie Coup de pouce. Ca représente les idées que pourraient vous donner le jury pour tenter de vous aiguiller dans la réponse.

Le sujet que je vous propose aujourd’hui est celui que j’ai moi-même eu l’an passé. Deux exercices, un sur les complexes (très calculatoire), et un en arithmétique (simple).

Le sujet

EXERCICE 1

Soit A, B et C trois points d’affixes a, b, et c, deux à deux distincts.

Démontrer l’équivalence entre les quatre propositions suivantes :

1/ ABC est équilatéral ;

2/ a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc ;

3/ \dfrac{1}{a - b } + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a} = 0 ;

4/ j ou j^2 sont solutions de l’équation az^2 + bz + c = 0

EXERCICE 2

Démontrer que, pour tout n entier relatif, 6 divise 5n^3 + n.

Coup de pouce

EXERCICE 1

On peut chercher à démontrer que chacune des propositions est équivalente à la 2.

– Démontrer que 3 \Longleftrightarrow 2 est simplement un calcul sans difficulté majeure.

– Démontrer que 1 \Longleftrightarrow 2 se fait en se rappelant que la mesure de l’angle orienté (\rightarrow{BA};\rightarrow{BC}) est donnée par \dfrac{c - b}{a - b}. Comme on suppose qu’on a un triangle équilatéral, il y a une égalité entre les angles orientés.

– Démontrer que 4 \Longleftrightarrow 2 se fait en rappelant que 1 + j + j^2 = 0 et l’équivalence :

j ou j^2 sont solutions de az^2 + bz + c = 0 \Longleftrightarrow (aj^2 + bj + c)(a(j^2)^2 + bj^2 + c) = 0

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EXERCICE 2

Première possibilité : Il faut démontrer que 5n^3 + n est divisible par 2, et par 3. Ensuite, on fait une distinction de cas.

Deuxième possibilité : modifier l’écriture de 5n^3 + n par une autre commençant par 6n^3 + ....

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Conclusion

Pour cette session d’entrainement, je vais prendre le parti de ne pas vous soumettre la correction à la fin des billets, mais plutôt au début des suivants. Patientez donc deux ou trois jours pour pouvoir la lire ! Oui, je sais, c’est sadique 🙂  mais c’est une compétence essentielle lorsqu’on souhaite devenir enseignant de mathématiques.

Je vous donne donc rendez-vous au prochain billet pour la correction. Mais en attendant, si vous avez des soucis pour résoudre ces deux exercices, ou au contraire si vous les trouvez trop simples, n’hésitez pas à m’en faire part dans les commentaires !


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2 Comments

  1. Merci pour le boulot que tu fournis.
    Ça permet de se faire une idee de l’epreuve
    Les sujets que tu comptes mettre à disposition sont ceux qui ont déjà été cités sur le forum cap public?
    Si tu as d’autres exercices que tu pourrais fournir je suis preneur 🙂
    Merci d’avance.

    • Bonjour !

      De rien, tant que ce travail m’amuse, je continuerai l’aide à la préparation 🙂 (et pour soutenir mon travail, il ne faut pas hésiter à liker les articles, voire le blog !).

      Pour les exercices, les deux premiers entraînements seront issus du forum (c’est d’ailleurs moi qui les ai postés ^^), mais les 6 autres seront un cru de mon choix en fonction du programme. Donc n’hésite pas à revenir !

      Bon courage pour le concours

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